 |
 |
 |
gordon0030@yandex.ru
Доказательность в математике
16.06.2003 
39:45
Стенограмма эфираДоказательность — главнейшая особенность математики, науки, представляющей образцы точности рассуждений. Но понятие доказательства долгое время не имело точного математического определения. О парадоксах в теории множеств и основаниях математики — академик РАН Юрий Ершов.
Обзор темы
В основе обзора — работы академика Ю. Л. Ершова и введение из «Элементов математики» Н. Бурбаки.
23 июня 1993 года математик из Принстона Эндрю Уайлс, выступая на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания), анонсировал доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптический кривых. Тем самым он заявил, что доказал последнюю теорему Ферма. Дальнейшие события развивались
Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство». Некоторые сомневаются даже, что вне математики имеются доказательства в том точном смысле, какой имело это слово у греков, и какой математики придают ему. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в глазах современной науки; а в эпоху, когда понятие доказательства было под угрозой, утраты и математика находилась
Формализация. Анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точки зрения, как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке, который содержит лишь небольшое число неизменных «слов», соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным. Например, запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации — это формализованный текст. Формулы обычной алгебры также будут формализованными текстами, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от них.
Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимания, так как единственно возможные источники ошибок — это длина или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. В неформализованном же тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Наверно, именно поэтому некоторые исследования филологов, объясняющие, например, древние литературные тексты, вызывают внутренний протест у представителей естественных наук.
В действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, «строгости», доказательства или теории, отнюдь не прибегает к одной из тех полных формализации, которыми сейчас располагают, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другими подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением в терпении. Если возникают сомнения, то, в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации — употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по мнению специалистов, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним.
Аксиоматика. Аксиоматический метод есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима. Он не является новым изобретением, но его систематическое употребление в качестве инструмента открытий составляет одну из оригинальных черт современной математики. И при записи, и при чтении формализованного текста совершенно несущественно, приписывается ли словам и знакам этого текста то или иное значение или даже не приписывается никакого, — важно лишь точное соблюдение правил синтаксиса. Именно поэтому алгебраические вычисления столь универсальны в применении. Как знает каждый, они могут служить для решения задач о килограммах или о франках, о параболах или о равномерно ускоренных движениях. Таким же преимуществом — и по тем же причинам — обладает и всякий текст, составленный по аксиоматическому методу. Коль скоро теоремы Общей топологии установлены, их можно применять по желанию и к обычному пространству, и к гильбертову, равно как и ко многим другим пространствам. Эта возможность придавать разнообразное содержание, словам или первичным понятиям теории составляет вместе с тем важный источник обогащения интуиции математика, которая отнюдь не обязательно имеет пространственную или чувственную природу, как часто думают, а скорее представляет собой некоторое знание поведения математических объектов, часто прибегающее к помощи образов самой различной природы.
На таком пути нередко открывалась возможность плодотворного изучения в
Подобно тому, как искусство правильно говорить на живом языке существовало еще до грамматики, так и аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков. Однако его сознательное применение может основываться только на знании общих принципов, управляющих этими языками, и их соотношений с обычными математическими текстами. Если прежде могли думать, что каждая отрасль математики зависит от специфических интуиции, дающих ей первичные понятия и истины, и потому для каждой отрасли необходим свой специфический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника — Теории множеств. Таким образом, по идее Н. Бурбаки (группа французских математиков), достаточно изложить принципы
Само собой разумеется, описание формализованного языка делается на обычном языке, подобно описанию правил игры в шахматы. Не обсуждается и возможность обучить принципам формализованного языка существа, умственное развитие которых не доходило бы до умения читать, писать и считать.
Если бы формализованная математика была так же проста, как игра в шахматы, то, составив описание выбранного формализованного языка, мы должны были бы затем лишь излагать наши доказательства на этом языке, подобно тому как автор шахматного трактата записывает в своей нотации партии, которым он хочет научить, сопровождая их в случае необходимости комментариями. Однако вопрос решается отнюдь не столь легко, и не требуется большого опыта, чтобы убедиться в абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков для своей полной формализации. Возникает настоятельная необходимость сокращать формализованный текст посредством введения новых слов (называемых «сокращающими символами») и дополнительных правил синтаксиса (называемых «дедуктивными критериями») в довольно значительном количестве. Поступая так, получаем языки, гораздо более удобные, чем формализованный язык в собственном смысле, и относительно которых любой
Введение удобного и сжатого языка сопровождается «рассуждениями» особого типа, принадлежащими к так называемой Метаматематике. Эта дисциплина, абстрагируясь полностью от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает эти тексты как особые простые объекты, как собрания некоторых заранее данных объектов, для которых важен лишь порядок их расположения. И как трактат по химии заранее объявляет результат эксперимента, производимого при данных условиях, так и метаматематические «рассуждения» будут устанавливать, что после некоторой последовательности операций над текстом данного типа окончательный текст будет текстом другого данного типа. В простейших случаях такие утверждения, по правде говоря, являются чистыми трюизмами. Их можно было бы сравнить, например, со следующим утверждением: «Когда в мешке с шарами, содержащем черные шары и шары белые, заменят все черные шары белыми, в мешке останутся только белые шары». Но очень скоро встречаются примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Правда, теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания. На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддающиеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы исчерпываем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном смысле. Проще,
Непротиворечивость. Вопрос о непротиворечивости — один из вопросов, наиболее занимающих современных логиков и в той или иной мере встающих уже с самого начала при создании формализованных языков. Та или иная математическая теория называется противоречивой, если
Можно ли приобрести уверенность, что этого никогда не случится? Не пускаясь по этому поводу в споры о самом понятии уверенности, заметим, что метаматематика может попытаться рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. В самом деле, сказать, что некоторая теория противоречива, сводится к тому, чтобы сказать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением 0 = 0.
Если бы математика была противоречива, то некоторые ее применения к материальным объектам, и в частности к формализованным текстам, рисковали бы стать иллюзорными. Чтобы избежать этой дилеммы, было бы необходимо, чтобы непротиворечивость формализованного языка можно было «доказать» посредством рассуждений, формализуемых в языке, менее богатом и тем самым более достойном доверия. Но знаменитая теорема метаматематики, принадлежащая Гёделю, говорит, что это невозможно для языка достаточно богатого аксиомами, чтобы допускать формулировку результатов классической арифметики.
Относительная непротиворечивость. С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т. е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) метаматематическая часть рассуждения настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть ее сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, еще ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда.
Если бы дело и сложилось иначе, то, конечно, замеченное противоречие было бы внутренне присуще самим принципам, положенным в основание Теории множеств, а потому нужно было бы видоизменить эти принципы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми более других дорожат. И ясно, достичь этого тем более легко, что применение аксиоматического метода и формализованного языка позволит формулировать эти принципы более четко и отделять от них следствия более определенно. Впрочем, приблизительно это и произошло недавно, когда устранили «парадоксы» Теории множеств принятием формализованного языка. Подобную ревизию следует предпринять и в случае, когда этот язык окажется в свою очередь противоречивым.
Алгоритм и доказательство неразрешимости. Прежде всего, рассмотрим понятие алгоритма и его место в математике. Несмотря на то, что это понятие является едва ли не самым распространенным в современной математике, природа этого понятия становится более ясной только с появлением математической логики. С исторической точки зрения понятие алгоритма связано, скорее, с алгеброй, потому что именно там оно появляется впервые. Любопытно и то обстоятельство, что слова алгебра и алгоритм обязаны своим возникновением имени одного человека — арабского математика Аль Хорезми
Известно, что действие физических машин — компьютеров — основано на исполнении ими программ, которые представляют собой алгоритмы. Простые алгоритмы типа деления столбиком известны каждому школьнику из курса математики. Математика имеет дело с математическими объектами, среди которых можно назвать числа, функции, множества, фигуры и т. д. Суть математики состоит в доказательстве истинных утверждений об этих объектах, и если есть такое доказательство, объект, фигурирующий в утверждении, считается существующим. Вопрос о том, где он существует: в мире идеальных сущностей, или же в уме у математика, или же во внешнем мире, — занимает в основном философов математики и не интересует нас здесь. Удивительным и весьма важным фактом является то, что алгоритм в обычном его понимании не является традиционным математическим объектом.
Для понимания этого важного факта следует обратиться к тому, что представляют собой математические утверждения. Обычно они являются дескриптивными, т. е. описывающими свойства математических объектов. В более широком смысле можно полагать, что математические утверждения описывают математическую реальность, что бы под этим ни понималось.
Что касается алгоритмов, то они носят императивный характер, так как они представляют собой предписания: сделай
Таким образом, для понимания природы понятия алгоритма и его легитимизации в качестве математического объекта мы должны фиксировать различие между дескриптивными и императивными утверждениями. Это первая оппозиция, нужная нам при обсуждении данного вопроса. Другой полезной оппозицией будет противопоставление классической и современной математики, или, более точно, классического аксиоматического метода и современного аксиоматического метода. Наконец, крайне важным будет также разделение синтаксических и семантических аспектов математических построений.
Впервые объекты, которые можно сопоставить с алгоритмами, появились в классической алгебре. Именно там алгоритмы стали претендовать на то, чтобы их можно было уподобить математическим объектам. Рождение современной математики также связано именно с алгеброй, которая ввела в обиход совершенно новые математические объекты. Известно, что собственно понятие алгоритма стало формализуемым и, стало быть, более понятным в рамках математической логики. Ситуация становится постижимой, если принять во внимание, что до возникновения математической логики алгебра в известной степени играла роль логики внутри математики. Обычная логика, связанная с именем Аристотеля, относилась к законам мышления и не играла
Важнейшим понятием математической логики является понятие терма. Терм — синтаксическое понятие, ставшее возможным после того, как в алгебре задолго до этого было введено понятие переменной. Фактически алгебра ввела формальный язык, который представлял собой исчисление переменных. Если имеется определенное число констант и переменных, можно ввести понятие терма обычным индуктивным образом: константа есть терм, переменная есть терм — и далее определяется индуктивный способ порождения слов с использованием функциональных символов языка. На термы как математические объекты можно смотреть двояким образом в зависимости от того, какие соображения представляют в некоторой задаче интерес — синтаксические или семантические.
Семантический аспект представляет собой поиск значений, которые приписываются синтаксическим объектам. Если мы изучаем натуральные числа, тогда каждому терму можно сопоставить значение — натуральное число. Вычисление значений осуществляется по заданным значениям переменных и функций. Первостепенную важность имеет равенство термов. Имеется два принципиально разных понимания такого равенства. Поскольку в терм входят переменные, постольку равенство термов можно считать тождеством, т. е. можно считать, что значения двух термов совпадают при всех значениях входящих в них переменных. Такого рода тождества являются универсальными логическими законами. Другое понимание равенства термов заключается в том, что установление равенства требует от нас нахождения таких значений переменных, при которых это равенство было бы справедливо. Именно такое понимание свойственно при решении уравнений, например диофантовых. В математической практике мы часто имеем смешанный вариант: некоторые переменные считаются параметрами, а для остальных ищутся соответствующие значения.
Эти два понимания равенства термов обусловливают два типа операций над ними. Первая из операций — это преобразование терма с использованием тождеств термов. Вторая операция — подстановка термов вместо переменных.
Такого рода вещи делаются в алгебре при решении уравнений. Важность термов определяется тем, что это не только синтаксические объекты, но и фактически записи алгоритмов. Сама форма терма говорит о том, что именно нужно выполнить для вычисления значения терма. При этом надо знать значения соответствующих функций.
Термы были первыми примерами нетривиального представления алгоритмов. Когда дан некоторый запас функций, термы дают некоторый запас алгоритмов. Вопрос о наличии алгоритма ни в коем случае не тривиален, что видно, быть может, из одного важного результата алгебры, а именно, из теоремы Галуа — Абеля о невозможности представления решений уравнений пятой степени в радикалах. Здесь речь идет об алгоритмической неразрешимости проблемы, т. е. об отсутствии алгоритма. Доказательство неразрешимости привело к появлению неклассических объектов математики — конечных групп, конечных полей и др. Именно на этом пути возникли семантические рассмотрения. Классическая математика занималась рассмотрением относительно малого числа объектов — чисел, фигур на плоскости и т. д. Но оказалось, что для решения проблем классической математики, имеющих дело с традиционными объектами, требуется ввести новые объекты. Введенные Галуа группы подстановок привели к созданию новой современной алгебры. При этом сама постановка проблем в алгебре радикально изменилась, — теперь возникает вопрос и о том, можно ли описать все объекты, которые удовлетворяют описанным структурам. Действительно, например, классификация конечных групп представляет собой весьма впечатляющую проблему: хотя классификация завершена, многие ее результаты занимают десятки тысяч страниц, и некоторые из них помещены в малодоступных периодических изданиях.
Только с появлением работ Дж. Пеано по аксиоматизации теории натуральных чисел и работы Д. Гильберта по аксиоматике геометрии наряду с математическими аксиомами первостепенную важность приобрели законы логики. Классический аксиоматический метод предполагал выведение следствий из аксиом, но только с появлением математической логики способы выведения этих следствий были кодифицированы и наряду с аксиомами стали частью формализмов математики.
Это обстоятельство привело к абсолютно новой ситуации во всей математике. Классическая математика была, если можно так выразиться, наивно конструктивной. Это означает, что если доказывалась теорема существования математического объекта, то при этом давался способ его построения. Но после появления законов логики стало возможным доказательство от противного, когда доказательство теоремы существования вовсе не предполагало способа построения объекта. Поначалу новые возможности в математике вызвали яростные споры среди математиков о допустимости подобных методов. Ситуация наилучшим образом характеризуется знаменитой аксиомой выбора, имевшей самые парадоксальные следствия. Несмотря на эту парадоксальность, аксиома выбора оказалась чрезвычайно полезной при доказательстве самых различных результатов. Новые методы, связанные с понятиями и методами математической логики, стали весьма эффективными не только в современной математике, но и в математике классической.
Математическая логика позволила определить понятие алгоритма. С каждым алгоритмом можно связать функцию, которая вычисляет его значение. Таких функций существует значительное количество, и из них удалось выделить класс вычислимых функций. Установление смысла вычислимости представляет содержание знаменитого тезиса А. Черча. Одно из определений вычислимости принадлежит К. Гёделю, и важно отметить, что знаменитая теорема Гёделя о неполноте, о которой так много говорят и спорят философы, связана с понятием алгоритма. Без принятия соглашения об эффективности системы аксиом эта теорема не имеет значительного смысла.
Новые методы, связанные с кодификацией логических законов математического мышления, частью которых являются представления об алгоритмах и вычислимости, приводили и приводят к поистине удивительным результатам в самой математике. Например, А. И. Мальцев в 1937 г. доказал теорему компактности, а в 1941 г. использовал эту теорему для доказательства теорем уже в самой алгебре. Теорема компактности описывает математическое свойство языка первого порядка через его семантику. С точки зрения логики свойство компактности определяет тот тип следования, который мы считаем желательным при формализации математического доказательства.
Дальнейшие исследования показали эффективность использования математической логики (теории моделей) и в других разделах современной математики (нестандартном анализе и др.). Недавние результаты Е. Хрущевского показали, что методы теории моделей можно успешно применять и для решения проблем классической математики (доказательство гипотезы Морделла — Ленга и Мамфорда). Последние работы Ю. Л. Ершова по теории полей классов можно рассматривать как использование
Математическая логика. Как самостоятельный раздел современной математики она сформировалась сравнительно недавно — на рубеже девятнадцатого — двадцатого веков. Возникновение и быстрое развитие математической логика в начале нашего века было связано с так называемым кризисом в основаниях математики. При любой попытке систематического изложения математики (как, впрочем, и любой другой науки) возникает проблема выбора начальных (исходных) понятий и принципов, которые будут положены в основу всего изложения. Проблема выбора и обоснование этого выбора исходных данных лежит, как правило, вне самой научной дисциплины и относится к философии и методологии научного познания. Систематизация математики в конце девятнадцатого века выявила, что весьма перспективным является использование понятия множества в качестве единственного исходного понятия для всей математики. Работами Б. Больцано, Р. Дедекинда и Р. Кантора была создана новая область математики — теория множеств, которая красотой и силой своих построений и перспективами использования ее в основаниях математики привлекла внимание многих ведущих математиков того времени. Однако высокая степень абстрактности и «универсальность» понятия множества не могли не привести к трудностям, хорошо и давно известным в философии при работе с «универсалиями». Проявилось это в появлении так называемых
Приведем один из
Появление таких парадоксов в теории множеств было воспринято многими математиками очень болезненно и поэтому привлекло к вопросам основании математики пристальное внимание практически всех ведущих математиков того времени (Д. Гильберт, А. Пуанкаре, Г. Вейль). Было предложено несколько программ «спасения» математики от «ужаса» парадоксов. Укажем вкратце только две наиболее действенные программы, хотя многообразие подходов к основаниям математики остается. Однако достижения математической логики сняли остроту этой проблемы настолько, что большинство математиков, работающих в других разделах математики, не уделяют особого внимания тем дискуссиям, которые ведут ныне специалисты по основаниям математики.
Одной из наиболее разработанных программ по основаниям математики является предложенная Д. Гильбертом программа финитарного обоснования математики. Суть этой программы состоит в попытке построения такой формализации математики, что средствами этой системы можно доказать свою собственную непротиворечивость. Другим требованием к такой формализации является условие, чтобы все простейшие, проверяемые непосредственно утверждения о натуральных числах были истинными в этой формализации. Работа над этой программой, как самого Гильберта, так и его учеников и последователей оказалась весьма плодотворной для математической логики, в частности, в разработке современного аксиоматического метода. Хотя программа «финитизма» в своей исходной постановке оказалась невыполнимой, как показал в своих знаменитых работах К. Гёдель, однако возможные модификации этой программы обсуждаются и по настоящее время.
Другой подход к основаниям математики был связан с критикой ряда положений, которые использовались в математике без должного обоснования. Это относится, в частности, к неограниченному использованию закона исключенного третьего и аксиомы выбора. Программа построения математики при жестких ограничениях на использование этих принципов получила название интуиционизма; ее создание и развитие связано в первую очередь с именем Л. Э. Я. Брауэра. Развитый в Советском Союзе А. А. Марковым и его последователями конструктивистский подход к основаниям математики также связан с критическим подходом к допустимым логическим средствам в математике и систематически использует понятие алгоритма при конструктивистском воспроизведении математических результатов.
Основным итогом деятельности в области оснований математики можно считать становление математической логики как самостоятельного раздела математики, а принципиальным достижением математической логики — разработку современного аксиоматического метода, который может быть охарактеризован следующими тремя чертами:
1. Явная формулировка исходных положений (аксиом) той или иной теории.
2. Явная формулировка логических средств (правил вывода), которые допускаются для последовательного построения (развертывания) этой теории.
3. Использование искусственно построенных формальных языков для изложения всех положений (теорем) рассматриваемой теории.
Первая черта характеризует классический аксиоматический метод. Две следующие являются дальнейшими шагами в достижении максимальной точности и ясности в изложении теорий.
Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления. В понятие исчисления входят такие основные компоненты, как: а) язык (формальный) исчисления; б) аксиомы исчисления; в) правила вывода.
Понятие исчисления позволяет дать строгое математическое определение понятия доказательства и получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. Еще одним замечательным достижением математической логики является нахождение математического определения понятия алгоритма.
Интуитивно понятно алгоритма использовалось очень давно. Выдающийся мыслитель
Изучение исчислений составляет синтаксическую часть математической логики. Изучение (синтаксического) понятия доказательства в тех или иных исчислениях составляет самостоятельный раздел математической логики, который носит название теории доказательств. Наряду с синтаксическим изучением исчислений проводится также семантическое изучение формальных языков математической логики. Основным понятием семантики является понятие истинности для выражений (формул, секвенций и т. п.) формального языка. Классическая семантика языка исчисления предикатов составила весьма богатый раздел математической логики — теорию моделей, которая активно развивается, а ее методы и результаты успешно применяются и в других областях математики. Основателями теории моделей являются А. Тарский и А. И. Мальцев.
Для математики особенно важной оказалась возможность формализации теории множеств. Исчисления, формализующие основные конструкции «наивной» теории множеств, оказались столь богатыми, что любое
На пути построения семантики естественных или формальных языков нас поджидают также большие трудности. Так, простодушное убеждение, что каждой повествовательной фразе русского языка можно правдоподобным (или, по крайней мере, непротиворечивым) образом приписать значение истинности, опровергается так называемым «парадоксом лжеца». Некто говорит: «Фраза, которую я сейчас произношу, ложна». Попробуем выяснить, правду сказал этот человек или солгал. Если предположить, что он сказал правду, то из смысла фразы получается, что он солгал. Если он солгал, то из того, что фраза ложна, получаем, что он сказал правду. Этот парадокс лежит в основе ряда замечательных теорем математической логики (теорем о неполноте и о неопределимости истинности в системе).
Нужно отметить, что современная математическая логика представляет собой обширный и разветвленный раздел математики, источником проблем для которого наряду с внутренними ее проблемами служат как философские проблемы оснований математики и логики, так и проблемы, возникающие в других разделах математики (алгебра, анализ, математическая кибернетика, программирование и др.). Математике суждено выжить и никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия; но это мнение основано, главным образом, на опыте. Этого мало, скажут некоторые. Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно.
Библиография
Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965
Гончаров С. С., Ершов Ю. Л. Конструктивные модели. Новосибирск, 1999
Ершов Ю. Л. Теория нумераций. М., 1977
Ершов Ю. Л., Палюти Е. А. Математическая логика.
Ершов Ю. Л. Определимость и вычислимость.
Ершов Ю. Л. Кратно нормированные поля. Новосибирск, 2000
Ершов Ю. Л. Хорошие расширения и глобальная теория полей классов//Доклады РАН. 2003. Т. 388. № 2
Мальцев А. И. Исследования в области математической логики/Избранные труды. Т. 11. М., 1976
Мальцев А. И. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп/Избранные труды. Т. 1. М., 1976
Hrushovski E. The
Hrushovski E. The
Тема № 268
Эфир 16.06.2003
Хронометраж 39:45
www.ntv.ru