 |
 |
 |
gordon0030@yandex.ru
Математика нелинейного мира
29.09.2003 
50:15
Стенограмма эфираВсякое точное объяснение того или иного явления — математично и, наоборот, все, что точно — математика. Любое же точное описание — это описание на соответствующем математическом языке. Дифференциальное исчисление — математический язык классической физики. О том, на каком языке говорит квантовая физика, — математик Александр Виноградов.
Участник:
Александр Михайлович Виноградов — доктор
Обзор темы
Из статьи А. М. Виноградова «Математические основания натуральной философии — нелинейный и квантовый аспекты»:
Пределы моего языка суть пределы моего мира.— Людвиг Витгенштейн
Я считаю, что в настоящее время самым важным из методов, при помощи которых математик приносит своими работами наибольшую пользу исследователю природы, является систематическая классификация величин.Окружающий нас мир существенно нелинеен в обоих известных на сегодняшний день своих проявлениях, классическом и квантовом. Всякое исчерпывающее и точное объяснение того или иного явления математично и, наоборот, все, что точно — это математика. Любое же точное математическое описание — это описание на соответствующем математическом языке. Лишь в редких случаях такой язык оказывается языком обычной логики. Например, математическим языком классической физики является дифференциальное исчисление. Аналогичный естественный математический язык для квантовой физики в полном объеме еще не построен, но ему уже можно дать имя, — Вторичное Дифференциальное Исчисление.— Джеймс Кларк Максвелл
Классический трактат Ньютона «Математические начала натуральной философии», произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им «языка Природы», дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз. Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы... Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики. Но Природа очень и очень нелинейна по самой своей сути и, сверх того, квантова. Это привело сначала к весьма серьезным трудностям и недопониманию, а потом и к полному «дефолту». Так «куда ж нам плыть?»
История математики знает две великие революции, каждая из которых полностью меняла её облик и внутреннее содержание. Их движущей силой была «невозможность жить по старому», т. е. невозможность адекватно интерпретировать актуальные проблемы точного естествознания на языке существующей математики. Первая из них связана с именем Декарта, вторая с именами Ньютона и Лейбница, хотя, конечно же, они отнюдь не сводятся только к этим великим именам. По словам Гиббса, математика — это язык, и сутью этих революций была глобальная перестройка всей математики на новой языковой основе. В самом деле, греческая математика разговаривает на языке Аристотелевой логики, которая должным образом формализует обычный, повседневный язык. В итоге первой революции, революции Декарта, языком всей математики стал язык коммутативной алгебры, вторая же заставила её говорить языком дифференциального исчисления.
Дифференциальное исчисление по самому своему происхождению является родным языком классической физики. Именно благодаря ему Максвелл смог открыть «на кончике пера» основу современной цивилизации — электромагнитные волны, а Эйнштейн — описать геометрию окружающей нас Вселенной. С другой стороны, столетний опыт убеждает нас, что средствами стандартного дифференциального исчисления невозможно описать явления, относящиеся к квантовой физике. Физики
Из того, что они нашли и придумали, образовался тот странный жаргон, в котором элементы дифференциального исчисления перемешиваются с гильбертовыми пространствами, теорией меры,
Математическое (не физическое!) уродство существующей квантовой теории недвусмысленно говорит о том, что её математические основания, т. е. математические основания натуральной философии в её квантовом аспекте, должны быть ещё установлены, а она сама сформулирована на новом, адекватном её сути языке.
Таким образом:
1. необходимо отыскать родной математический язык квантовой теории, что является важнейшей задачей современной математики, абсолютно независимой от текущих проблем теоретической физики и господствующей в ней моде, и
2. научиться говорить, думать и писать на нём, то есть придти к истинному пониманию квантовых явлений.
Сказанное отнюдь не является отвлеченной философической игрой ума, поскольку проблемы 1) и 2) поддаются точному анализу. Весьма схематически это выглядит следующим образом.
Принцип соответствия Бора. Принцип соответствия Бора, согласно которому классическая физика является предельным случаем квантовой, оказался основным эвристическим приемом, приведшим к построению работающих математических моделей квантовых явлений. Точнее, в основе существующей квантовой теории лежат те или иные процедуры квантования, конкретизирующие принцип Бора. А поскольку языком классической физики является дифференциальное исчисление, то оно, это старое доброе дифференциальное исчисление есть предельный, вырожденный случай более общей математической теории, которую можно было бы назвать квантовым дифференциальным исчислением. Выделенное курсивом высказывание представляет собой математический парафраз принципа соответствия Бора, — математический принцип Бора. Из него, в частности, следует, что математический язык квантовой физики должен быть естественным расширением дифференциального исчисления, а отнюдь не системой надстроек в виде тех или конструкций функционального анализа, некоммутативной алгебры и т. п.
Из математического принципа Бора можно извлечь несколько больше, чем просто факт существования «квантового» дифференциального исчисления. Действительно, обыкновенные дифференциальные уравнения классической механики описывают поведение особенностей решений уравнений квантовой механики. В теории поля мы должны исходить из уравнений классических полей, которые, если думать по аналогии, описывают поведение особенностей (сингулярностей) квантовых полей, но с самого начала уже являются уравнениями в частных производных. Стало быть, допуская, что принцип соответствия Бора справедлив и в этом случае, мы с необходимостью приходим к выводу, что уравнения, описывающие квантовые поля, должны быть дифференциальными уравнениями нового, неизвестного ранее типа, который соотносится с уравнениями в частных производных так же, как уравнения в частных производных соотносятся с обыкновенными дифференциальными уравнениями. В более широком контексте это указывает на существование новой общей математической теории, предельным случаем которой является классическое дифференциальное исчисление. Мы назвали эту новую теорию вторичным, а не квантовым дифференциальным исчислением,
Наблюдаемость в классической физике, коммутативная алгебра и дифференциальное исчисление. Принцип Бора, предсказывая существование «квантового» дифференциального исчисления, не дает нам конструктивных средств для его построения. Для этого требуется более тонкие рассуждения. Один из основных принципов современной физики утверждает: существует только то, что наблюдаемо. Фундаментальное различие между классической и квантовой физикой состоит в том, что наблюдения в классической физике независимы и не меняют состояния наблюдаемых объектов. Поэтому прежде чем приступать к поискам вторичного дифференциального исчисления естественно проанализировать и формализовать с максимальной математической тщательностью классическую процедуру наблюдения в физике, тем более что это в полном объеме еще не было сделано.
Схематически математическое содержание этой процедуры состоит в том, что физические приборы, собранные в воображаемой «классической» лаборатории, являются образующими некоторой коммутативной алгебры над полем действительных чисел, алгебры наблюдаемых. Всякое конкретное наблюдение является гомоморфизмом этой алгебры в алгебру действительных чисел. По этой причине наблюдения, то есть состояния интересующей нас физической системы, образует действительный спектр этой алгебры наблюдаемых. Таким образом, вся информация о структуре, динамике и etc этой системы должна быть выражаемой в терминах алгебры наблюдаемых. Поскольку de facto мы знаем, что вся эта информация предоставляется нам дифференциальным исчислением, то мы приходим к выводу, что оно, при условии справедливости постулированных выше принципов, должно являться одним из аспектов коммутативной алгебры.
Оказывается, что это действительно так и полнокровное дифференциальное исчисление, а, стало быть, и теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, дифференциальная топология и так далее, могут быть построены над произвольной коммутативной алгеброй. Логический скелет этой конструкции образован функторами дифференциального исчисления и не требует никаких гипотез топологического и другого характера. Достаточно арифметических операций.
Исчисление этих функторов оказывается необходимой предпосылкой для построения вторичного дифференциального исчисления. Сам же факт существования алгебраического дифференциального исчисления служит подтверждением постулированных выше принципов.
Геометрия дифференциальных уравнений, диффеотопы и вторичное дифференциальное исчисление. Причины математической неудовлетворительности существующей квантовой теории, и, прежде всего, квантовой теории поля напрямую связаны с неразработанностью основ теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Это ясно из того, что квантовая теория поля исходит из теории классических полей, описываемых такими уравнениями. Парадоксально, что несмотря на исключительную важность теории нелинейных дифференциальных уравнений для всего современного математического естествознания (механика сплошных сред и т. п.), не говоря о таких разделах математики, как, скажем, дифференциальная геометрия, математики прошлого века почти не обращали на нее никакого внимания. В результате отдельные уравнения, важные с точки зрения приложений (та же механика сплошных сред) изучались узкими специалистами кустарными методами, порой очень непростыми и изощренными, но всегда слишком специальными. Общее настроение того времени выразил Курант, который писал: «Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями порядка выше первого настолько разнообразны, что построение единой теории не представляется возможным». Это представляет резкий контраст с восемнадцатым и девятнадцатым веками, когда самые выдающиеся математики уделяли много внимания нелинейным дифференциальным уравнениям и заложили фундамент этой теории. Этот славный период начинается с работ Гаспара Монжа и заканчивается фундаментальными работами Софуса Ли, между которыми видны блестящие имена Фробениуса, Дарбу, Якоби, Бэклунда и многих других. Надолго забытые результаты этих классиков были востребованы и частично возвращены к жизни специалистами в области теоретической и математической физики (а не «чистыми» математиками) только в семидесятые годы прошлого века, во время бума вокруг интегрируемых систем.
Некоторые новые конструкции теории интегрируемых систем, как оказалось, имеют общематематическую природу и не ограничиваются рамками классической теории Ли. В результате на базе синтеза классики, когомологической теории Спенсера и Гольдшмидта и общематематической части теории интегрируемых систем возникла современная геометрическая теория уравнений в частных производных.
Основными объектами новой теории являются диффеотопы, которые играют в теории дифференциальных уравнений такую же роль, как алгебраические многообразия в теории алгебраических уравнений. Они представляют собой особого рода многообразия, как правило, бесконечномерные, снабженные контактной структурой бесконечного порядка. Вторичное дифференциальное исчисление есть дифференциальное исчисление на диффеотопах, уважающее эту контактную структуру. Бесконечномерность диффеотопов делает невозможным построение дифференциального исчисления стандартными методами. Именно поэтому здесь неизбежно применение алгебраического подхода, о котором говорилось выше. Таким образом, вторичное дифференциальное исчисление запрограммировано на языке обычного, то есть первичного, дифференциального исчисления, учитывающего специфику диффеотопов. Именно поэтому оно называется вторичным.
Теория многообразий, как гладких, так и алгебраических, и, вообще, вся обычная математика оказываются нульмерным в смысле диффеотопической размерности частным случаем теории дифффеотопов, и именно это показывает, что последняя удовлетворяет математическому принципу Бора, обсуждавшемуся выше. Подобно своему физическому прототипу этот принцип используется для решения проблемы «овторичивания», основной проблемы вторичного дифференциального исчисления, состоящей в нахождении во вторичном дифференциальном аналогов всех компонентов обычного дифференциального исчисления.
Таким образом, эта проблема оказывается математическим парафразом проблемы квантования. Будучи более общей и существенно более формализуемой, чем проблема квантования, она допускает почти алгоритмическое решение. Ее полное решение позволило бы раз и навсегда закрыть последнюю и написать уравнения квантовой теории поля и ее обобщений. Теория струн и т. п. могут быть написаны непосредственно на языке вторичного дифференциального исчисления, разумеется, в непертурбативной форме. Начало этому уже положено. Именно, показано, что раздел современной квантовой теории поля, связанный с
Кванты в математике ХХ века — когомология. Замечательным и неожиданным фактом, выяснившемся в процессе построения вторичного дифференциального исчисления, является то, что его объекты суть классы когомологий некоторых дифференциальных комплексов, естественным образом возникающих на диффеотопах. Это, в свете сделанных ранее предположений, указывает на то, что математический аппарат, описывающий квантовые явления, имеет существенно когомологическую природу (и такие характерные квантовые свойства как, скажем, некоммутативность, являются одним из ее проявлений). Квантовые величины напоминают характеристические классы, при помощи которых в дифференциальной геометрии описываются те или иные геометрические структуры. В более общем контексте это указывает на то, что правильное описание решений дифференциальных уравнений с частными производными тоже должно быть когомологическим. Иными словами, решения дифференциального уравнения должны описываться при помощи классов когомологий дифференциальных комплексов, естественным образом с ним связанных. Эти классы можно понимать как обобщенные законы сохранения.
Тридцатые годы прошлого столетия ознаменовались построением двух принципиально новых теорий — теории гомологий в математике и квантовой механики в физике. Естественно, что как в те годы, так и непосредственно позже, нельзя было и заподозрить
Диффеотопия. Построение содержательной общей теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных является фундаментальной проблемой современной математики, без решения которой невозможно успешное развитие современного математического естествознания. Построение адекватных математических основ теории квантовых явлений есть важнейшая составная часть этой проблемы. На основании сказанного выше мы констатируем, что они не могут быть решены никакими техническими усовершенствованиями в рамках традиционной математики. Диффеотопия — это та новая математика, которая позволяет поставить решение этих фундаментальных проблем на твердую основу. Она является синтезом двух теорий — первичного дифференциального исчисления, то есть теории функторов дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами и вторичного дифференциального исчисления.
Актуальные проблемы диффеотопии можно разделить на два больших класса. К первому относятся проблемы, связанные с выявлением и исследованием базовых структур первичного и вторичного исчислений. Упомянутая выше проблема «овторичивания» является весьма нетривиальной проблемой этого типа. Вопросы адекватного перевода тех или иных математических или физических проблем на язык диффеотопии, а они могут быть очень непросты, также принадлежат к этому классу. Нахождение уравнений квантовой теории поля — одна из наиболее важных проблем такого типа. Ко второму классу относятся многочисленные проблемы технического и вычислительного характера, связанные с решением конкретных задач диффеотопическими методами. Скажем, задача нахождения всех законов сохранения или преобразований Бэклунда для заданной системы дифференциальных уравнений, которая является алгоритмической в рамках вторичного исчисления, дает пример простейшей проблемы этого класса. Актуальные вычисления, использующие методы вторичного дифференциального исчисления, зачастую оказываются столь сложными и трудоемкими, что их осуществление без надлежащей компьютерной поддержки становится невозможным. Поэтому разработка соответствующего специализированного программного обеспечения для символических «вторичных» вычислений является исключительно важной задачей.
Библиография
Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные понятия и идеи дифференциальной геометрии // Фундаментальные направления современной математики. 1988. Т. 28
Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М., 1980. Т. 11
Виноградов А. М., Красильщик И. C., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1986
Неструев Д. Гладкие многообразия и наблюдаемые. М., 2000
Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. А. М. Виноградова, И. C. Красильщика. М., 1997
Barnich G., Brandt F., Henneaux M. Local BRST cohomology in the antifield formalism: I. General theorems // Comm. Math. Phys. 1995. № 174;
Bryant R. L., Griffiths Ph. A. Characteristic cohomology of differential systems. I: General theory // J. Amer. Math. Soc. 1995 № 8
Bryant R. L., Griffiths Ph. A. Characteristic cohomology of differential systems. II: Conservation laws for a class of parabolic equations // Duke Mathematical Journal. 1995. № 78
Goldschmidt H. Integrability criteria for systems of
Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of Gauge Systems. Princeton, 1992
Krasil’shchik I. S., Verbovetsky A. M. Homological methods in equations of mathematical physics. Opava, 1998
Krasil’shchik I. S., Kersten P. Symmetries and recursion operators for classical and supersymmetric differential equations // Mathematics and its applications.
Secondary Calculus and Cohomological Physics. Contemporary Mathematics / Ed. by M. Henneaux, I. S. Krasil’shchik, A.M. Vinogradov. American Mathematical Society, 1998. V. 219
Spencer D. C. Overdetermined systems of linear partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1969. № 75
Tsujishita T. Formal geometry of systems of differential equations // Sugaku Expositions. 1989. № 2
Vinogradov A. M. From symmetries of partial differential equations towards secondary («quantized») calculus // J. Geom. and Phys. 1994. № 14
Vinogradov A. M. Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus // Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, 2001. V. 204
http://diffiety.ac.ru/
Тема № 300
Эфир 29.09.2003
Хронометраж 50:15
www.ntv.ru