Стрела времени

gordon0030@yandex.ru

Архив выпусков | Участники

↓№ 198↑

15.01.2003 Хронометраж

49:09

Фейман как-то заметил, что всю физику можно изложить на одной странице. А можно ли описать весь материальной мир одной строчкой, оперируя только одной формулой? Способна ли квантовая механика обойтись без волновой функции? Под силу ли современной физике объяснить эволюцию мира и возникновение необратимости? О квантовой механике как классическом случайном процессе, стреле времени и квантовом хаосе — физик Юрий Кухаренко.

Участник:

Кухаренко Юрий Александрович — кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института физики Земли РАН

Материалы к программе:

Из статьи Ю. Кухаренко «Рождение стрелы времени из квантового хаоса».

Введение. Вероятно, каждого физика восхищала поразительная аналогия научного и библейского сценариев развития Вселенной. Действительно, как похож первоначальный библейский хаос на принимаемое в физике за начальное — сверхплотное однородное состояние материи, в котором еще не произошли дифференциация вещества и полей взаимодействий (мы увидим, что это сходство гораздо глубже, чем кажется с первого взгляда — это будет квантовый хаос траекторий Вселенной). Библейское отделение света от тьмы соответствует в физике рождению свободного фотона — разделению излучения и вещества или разделению материи на бозоны и фермионы. Создавая сушу, воду, ветер и небесные светила Бог создал тем самым четыре состояния вещества — твердое, жидкое, газообразное и плазменное, и структурировал Вселенную. Хотя еще не все проблемы состава (например, скрытой массы) и возникновения неоднородности (образования структур во Вселенной) в современной физике решены, т. е. не все участники пьесы известны и оформлены не все декорации, замысел режиссера еще не ясен, но сценарий прочитан и обсужден, пьеса уже идет и актеры играют на сцене и за сценой.

Но остается более глубокий вопрос: как возникла стрела времени и эволюция из пространственно-временного хаоса, или что же было в начале? Вспомним Евангелие от Иоанна: «В начале было Слово, и Слово было с Богом, и Слово было Бог».

Если можно, я истолкую это утверждение так: Бог создал Вселенную, подчиняющуюся законам, потому что знал, как ее описывать, т. е. физическая непротиворечивость сценария была следствием его логической непротиворечивости. Единственной логически непротиворечивой теорией, позволяющей объяснить устойчивость современного мира на микроуровне, является релятивистская квантовая механика (или квантовая теория поля). Но можно ли идти с этой квантовой механикой к началу Мира? Нельзя, потому что квантовая механика в ее обычной (так называемой копенгагенской) формулировке требует наличия измерительных приборов, т. е. макроскопических объектов, подчиняющихся классической механике и, следовательно, свободных от квантовых флуктуации.

В ранней Вселенной таких объектов нет, и квантовая механика в копенгагенской формулировке становится физически противоречивой. Попытка выхода из этого «квантового тупика» обращением к «многомировой интерпретации» Эверетта, на мой взгляд, несерьезна, хотя она и популярна в квантовой космологии. Чего же не хватает копенгагенской формулировке квантовой механики, чтобы не опираться на макроскопические приборы? Как это ни странно (ведь у квантовой механики — вероятность в «крови»), ей не хватает общего определения вероятности. Действительно, волновая функция формируется приготовительной системой и представляет собой не вероятность, а всего лишь, по выражению Фока, «потенциальную возможность». Только последующее взаимодействие частицы с измерительным прибором фиксирует значение классических физических величин и распределение их вероятностей. Задания же волновой функции недостаточно для определения статистического ансамбля или множества элементарных случайных событий с вероятностной мерой на нем.

Отсюда ясна первая цель статьи — построить обобщенную квантовую механику (квантовую теорию поля) без макроскопических приборов и. следовательно, пригодную для описания полностью-случайной ранней Вселенной. Обобщенная квантовая механика построена Рязановым в полной аналогии с классической теорией случайных процессов путем задания общего пространства элементарных событий и вероятностной меры на нем. Существенно, что для задания этого общего пространства элементарных событий не требуется создания приготовительной и измерительной макроскопических систем, необходимых в обычной квантовой механике. В качестве пространства элементарных событий выбирается множество случайных «квантовых траекторий» Вселенной — траекторий с произвольно изменяющимся знаком времени. Физические события являются подмножествами этого пространства и физические величины представляются континуальными интегралами по вещественной, но знакопеременной мере. Мы распространим формулировку нерелятивистской квантовой механики Рязанова на квантовую теорию поля.

Существенно, что поскольку в обобщенной квантовой механике время хаотически меняет знак, в ней отсутствует эволюция, но существует движение как в будущее, так и в прошлое, Поэтому она может ответить на вопрос: как возникает стрела времени и эволюция? Ответ удивительно прост и красив: стрела времени возникает как следствие «интерференции хаотических траекторий», т. е. сокращения при определенных условиях вкладов от траекторий, содержащих излом (т. е. поворот) во времени. Эта теорема об интерференции приводит к существованию однопараметрической группы движений вдоль траекторий без изломов, существованию уравнения Шредингера и эволюции. Подчеркнем, что существование стрелы времени не связано с необратимостью в противовес обычным утверждениям. Движение квантовой системы оказывается обратимым, потому что «выживают» траектории без изломов во времени, идущие как из прошлого в будущее, так и из будущего в прошлое. Доказать все это — вторая цель статьи.

Квантовые траектории Вселенной. Будем обозначать состояния Вселенной параметром q — «координатой» Вселенной. Координата Вселенной, по определению, включает в себя все поля (бозоны и фермионы), а также поле метрического тензора. Бозевские поля, включенные в q, описываются не операторами, а обычными числами, фермиевские поля описываются элементами гроссмановой алгебры, т. е. переменными с антикоммутирующими значениями. Ферми- и бозе-поля можно объединить в единое суперполе, однако нам это не понадобится. Таким образом, координата Вселенной q описывает единый физический мультиплет (не групповой мультиплет, поскольку поля могут преобразовываться по приводимым представлениям той или иной группы симметрии). Поскольку q не является оператором, координата Вселенной представляет собой классический объект. Зависимость q от времени определяет «траекторию» Вселенной. Траекторию q(t) мы будем рассматривать как элементарное случайное событие. Существенно, что мы будем учитывать траектории, на которых знак времени может изменяться произвольным образом. Многозначность траектории приводит к тому, что Вселенная одновременно, т. е. в любой заданный момент t, находится во всех своих состояниях q. Множество всех таких траекторий q(t) составляет общее пространство W элементарных событий — реализаций случайного процесса. Для построения квантовой механики Вселенной как вероятностной науки необходимо задать вероятностную меру W[q(t)] на пространстве элементарных событий W, т. е. вещественную аддитивную функцию, определенную на подмножествах пространства W. Каждому подмножеству пространства W соответствует физическое событие или физическая величина. Любую динамическую величину можно рассматривать как функционал A[q(t)] на множестве траекторий и ее среднее значение определять с помощью функционального интеграла Рязанова:

Таким образом, квантование Вселенной сводится к заданию плотности вероятности траекторий W[q(t)]. Напомним, что совершенно аналогичным образом строится классическая статистика Гиббса, в которой пространством элементарных событий является множество конфигураций системы, а вероятность каждой конфигурации определяется гиббсовской экспонентой.

Принцип Рязанова представляет собой обобщение принципа Гамильтона наименьшего действия, последний определяет траекторию, на которой вероятность максимальна. Подход Рязанова близок к методу Фейнмана, однако, Фейнман рассматривает только траектории, не изменяющие направление во времени. По существу, формула Фейнмана для амплитуды вероятности перехода заменяет лишь уравнение Шредингера, тогда как принцип Рязанова содержит в себе всю квантовую механику: волновую функцию, принцип суперпозиции, операторы и коммутационные соотношения.

Мера Рязанова в отличие от меры Фейнмана вещественна, хотя и знакопеременна. Весь мир «звучит» как один чистый гармонический тон, и обратная постоянная Планка — его частота. Предположение о зависимости вероятности только от действия аналогично предположению о зависимости матрицы плотности системы от энергии в состоянии полного равновесия в статистической термодинамике, и позволяет говорить о «равновесном газе» хаотических траекторий. Квантовые траектории являются всюду непрерывными и нигде не дифференцируемыми функциями. Такие функции можно изучать, используя дробные размерности и свойства фрактальных множеств.

Стрела времени. Существуют однопараметрическои группы сдвигов вдоль траекторий, не меняющих знак времени, т. е. без изломов. Наличие этой группы мы интерпретируем как существование стрелы времени, вдоль которой происходит эволюция системы, записанная на языке волновых функций, удовлетворяющих уравнению Шредингера (последнее вытекает из определения функции Грина G). Существование стрелы времени, таким образом, является следствием теоремы об интерференции траекторий. Эта теорема позволяет понять, почему эволюция системы в классической механике подчиняется вариационному принципу наименьшего действия. Все дело в том, что система многократно обошла все пространство, побывала как в прошлом, так и в будущем, пройдя по всем траекториям, но вклад от всех траекторий, кроме единственной, классической, сократился. Существование принципа Гамильтона в классической физике является следствием квантово-механического принципа Рязанова.

В классическом пределе описывается свободное движение системы вдоль классической траектории — прямой линии. Таким образом, существование стрелы времени можно рассматривать как следствие существования классических траекторий свободных частиц, или отсутствия бифуркаций этих траекторий. Обычно существование и направленность времени связывается с необратимостью и законом возрастания энтропии. На самом деле второй закон термодинамики не отвечает за направленность времени. Из обратимости микромеханики вытекает, что энтропия возрастает как в будущее, так и в прошлое. Другими словами, группа сдвигов вдоль траекторий асимптотически на больших временах порождает две полугруппы, описывающие эволюцию неравновесных процессов в макроскопических системах. Таким образом, направленность времени является причиной, а не следствием закона возрастания энтропии.

Из статьи Ю. Кухаренко «Кинетика Вселенной и необратимость»

Целью настоящей работы является вывод необратимых кинетических уравнений из обратимых уравнений квантовой механики. Мы покажем, что между обратимостью исходных уравнений и возрастанием энтропии нет никаких противоречий. По нашему мнению, Вселенная управляется обратимыми уравнениями. Необратимость является следствием асимптотического разложения корреляционных функций на больших по модулю временах.

В этой связи интересно привести пари о проблеме квантового детерминизма, заключенное между А. Д. Сахаровым и Д. А. Франк-Каменецким: «Существует ли однозначное решение уравнения Шредингера, описывающее все степени свободы Вселенной во все времена?» Франк-Каменецкий ответил — «нет», Сахаров ответил — «да». Я думаю, что Бог описывал Вселенную обратимыми уравнениями. Разумеется, при структурировании Вселенной Ему приходилось понижать энтропию структур, и, проводя этот процесс адиабатически, Он помещал избыток энтропии в «термодинамический холодильник», роль которого, по-видимому, играло древо познания добра и зла. Когда Ева съела яблоко, она необратимым образом получила прирост энтропии, стерев информацию, необходимую для точной обратимости. С тех пор человек живет по необратимым законам, являясь не идеалом творения, а всего лишь асимптотикой.

Из статьи Ю. Кухаренко «Физика и геометрия»

Читая работы по основаниям физики, удивляешься стремлению авторов парные понятия (например, абсолютность и относительность времени и пространства и т. д.) противопоставить друг другу, ввести разделительное «или», подчеркнуть их дихотомичность. Ярче всего это сделано у Ньютона.

Мы остановимся на исследованной Махом проблеме абсолютного и относительного пространства. С древних времен абсолютное пространство воспринималось как заполненное средой, несущей движение тел и передающей их взаимодействие. Относительное же пространство, согласно Маху, лишенное среды, нуждается в теле отсчета, «центрирующем» пространство.

Развитие евклидовой геометрии показало, что основным ее элементом является не точка пространства, а вектор, т. е. пара точек. Но это означает, что даже в абсолютном пространстве координаты любой точки могут быть определены только относительно некоторой выделенной точки. Другими словами, вектор как основной объект евклидовой геометрии требует центрирования пространства относительно произвольной точки, совсем как в «пустом пространстве» Маха. Возникает вопрос, в чем же проявляется абсолютность пространства. Она проявляется в существовании отношения эквивалентности на множестве векторов, в возможности откладывать равные векторы от любой точки, т. е. в существовании группы сдвигов, инвариантом которой является вектор. Но такая же инвариантность существует и в относительном пространстве Маха, поскольку выбор тела отсчета произволен, Таким образом, с геометрической точки зрения нет разницы между абсолютным и относительным пространством.

Не надо думать, что такая связь абсолютного и относительного касается только пространства. Такая двойственная точка зрения применима по отношению к любому математическому понятию. Например, натуральное число можно понимать как конкретный символ определенного алфавита. При таком определении число является «относительным» понятием. Тем не менее, это не мешает использовать его для счета, т. е. для установления взаимно однозначного соответствия между этими символами и элементами любого данного (конечного) множества, т. е. для проведения «абсолютной» операции. Важно отметить, что в этих рассуждениях фигурируют только два множества. Отношение эквивалентности обладает свойством транзитивности. Это позволяет перейти к «абсолютной» точке зрения на число, согласно которой множество всех конечных множеств разбивается на классы эквивалентных (равномощных) множеств, и число понимается как мощность, «нумерующая» классы эквивалентности. Такое определение вводит число, как абсолютный объект, не зависящий от выбора системы нумерации (алфавита). Мы не останавливаемся здесь на обсуждении такого понятия, как «множество всех конечных множеств».

В качестве аналогичного физического примера можно привести понятие температуры. И относительная (измеряемая какой-либо конкретной шкалой) температура, и абсолютная (термодинамическая) температура определяются «нулевым» постулатом термодинамики — существованием состояний равновесия. Температура является «меткой», измеряющей классы систем, находящихся в равновесии между собой. При определении относительной температуры порядок на множестве «меток» устанавливается с помощью конкретной шкалы произвольного термометра. При определении же абсолютной температуры это достигается с помощью физического закона — второго закона термодинамики.

Аналогичным образом можно рассмотреть понятие одновременности. Различие между классической механикой и специальной теорией относительности в том, что в последней понятие одновременности зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

С абсолютной точки зрения математику можно рассматривать как схему, справедливость которой определяется только ее логической непротиворечивостью. Как говорил Гильберт, в качестве точки, прямой и плоскости можно взять стол, стул и пивную кружку, достаточно, чтобы они удовлетворяли аксиомам евклидовой геометрии. При таком подходе понятия пространства и времени также являются не более, чем схемой, неважно — врожденной (по Канту) или благоприобретенной. Сама физическая теория строится тогда следующим образом: задается пространство, в нем группа преобразований и строится теория инвариантов этой группы. Однако, с экспериментальной, т. е. с относительной, точки зрения важна физическая непротиворечивость теории, т. е. ее согласие с относительными измерениями. Именно эта относительность и позволяет проанализировать понятие пространства и времени. Для иллюстрации рассмотрим, например, простейший вопрос: почему существует направленное время. Обычно существование и направленность времени связывается с необратимостью и законом возрастания энтропии. Такая точка зрения отражена, в частности, в Курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. Наиболее ярко эта мысль выражена Эддингтоном, сказавшим, что время надо измерять не часами, а термометрами. На самом деле второй закон термодинамики не отвечает за направленность времени. Действительно, из обратимости микромеханики вытекает, что энтропия возрастает в обе стороны изменения времени. Закон возрастания энтропии выполняется асимптотически на больших по модулю временах (по сравнению с характерным временем корреляции в системе). Другими словами, группа сдвигов вдоль траектории в механике асимптотически порождает две полугруппы, описывающие эволюцию неравновесных процессов в макроскопических системах. Таким образом, направленность времени является причиной, а не следствием закона возрастания энтропии. Возникает вопрос, почему же существует направленное время. Ясно, что все основные физические понятия (и это согласуется с точкой зрения Маха) должны быть взяты из опыта (в отличие от точки зрения Канта, считавшего пространство и время априорными, доопытными понятиями). «Минимальный» объект, который мы можем наблюдать на опыте, — это материальная точка, частица, с тремя степенями свободы, т. е. нульмерный обьект. Опыт показывает, что траекторией материальной точки является линия L, т. е. одномерное множество точек пространства. Одномерность линии индуцирует на ней линейный порядок. Разумеется, мы говорим о топологической размерности, иначе, по аксиоме Цермело, любое множество можно вполне упорядочить, но этот порядок будет разрывным, т. е. для нас важна согласованность порядка и метрики. Движение (группа движений лежит в основе евклидовой геометрии трехмерного пространства) означает, что координаты частицы принимают значения из L т. е. координата точки на L, обозначаемая через х₁, является функцией параметра τ — параметра «порядка», принимающего значения из интервала (0, 1) в естественном (по возрастанию) порядке. Любым образом упорядоченную переменную х₁ = f(τ), т. е. любой процесс, можно взять в качестве времени. Существование и направленность времени являются следствием линейного порядка траектории L. Для того, чтобы понять, что такое определение времени нетривиально, достаточно привести контрпример: частица, двигаясь по траектории L, рождает две частицы, двигающиеся по траекториям L₁ и L₂. От такой возможности механика защищена щелью Дирака в энергетическом спектре электрона, т. е. наличием массы покоя, которая определяет порог рождения фермиевских частиц из вакуума. Можно привести и другой пример, когда движущаяся частица рождает бозевские возбуждения, например, электромагнитные волны, благодаря эффекту Черенкова. Этот эффект аналогичен образованию конуса Маха, под которым расходятся поверхностные волны, излучаемые кораблем, движущимся со скоростью v, превышающей скорость волн С. Отметим, что условие отсутствия излучения v < c совпадает с условием сверхтекучести Ландау при движении тела в жидком гелии. Таким образом, «сверхтекучесть» вакуума, т. е. выполнимость закона инерции Галилея (сохранение скорости V свободного тела в инерциальной системе координат) и, более того, само существование свободных тел и, следовательно, инерциальных систем координат, обусловлено существованием порога рождения фермиевских и бозевских возбуждений из вакуума, т. е. существованием массы частицы и конуса Маха.

Такие выводы вытекают из существования траекторий материальных точек. Линейной упорядоченностью точек траектории обусловлено существование времени. Ничто не мешало бы взять в качестве «относительного» времени координату некоторой материальной точки. Но такой произвол неудобен, как и выбор уравнения состояния произвольной макроскопической системы для определения «относительной» температурной шкалы. Ясно, что «абсолютное» время должно определяться целым классом одинаковых процессов и задавать отношение эквивалентности на нем, подобно термодинамической температуре. Какой же класс процессов естественно положить в основу определения времени? Опыт показывает, что траектория L_i i-ой свободной частицы в инерциальной системе отсчета является прямой, а порядок пробегания ее при движении — естественный (по возрастанию длины, или координаты x_i). Выберем координату x₁ определенной свободной частицы в качестве параметра «порядка», определяющего координату x₁ = f_i(x₁) любой свободной частицы. Опыт показывает, что отношение x_i / x₁ является константой. Но это означает, что координату любой свободной частицы также можно принять за время t. Только теперь определение времени приобретает необходимую всеобщность, т. е. независимость or выбора конкретной материальной точки. Таким образом, существование времени является следствием закона инерции Галилея, точнее, той его части, которая утверждает о постоянстве модуля скорости свободного тела. Основная наша мысль заключается в том, что, в противоречии с Эддингтоном, время измеряется не термометром, а траекторией свободного тела. Тот факт, что на практике для измерения времени используется свободное вращение не меняет сути дела. Из закона инерции следует и второе свойство траекторий свободных тел — «прямизна», т. е. сохранение углов, а отсюда вытекает евклидовость геометрии пространства. Для неживой природы нет выбора, и свобода — «неосознанная необходимость». Таким образом, мы видим, что не только в общей теории относительности, но и в классической механике геометрия навязывается динамикой — законом инерции, т. е. существованием массы.

Такое заключение интересно сопоставить с тем, что происходит в квантовой механике. Для этой цели удобно воспользоваться формулировкой квантовой механики, принадлежащей Рязанову. В отличие от других подходов, метод Рязанова основан на явном введении в квантовую механику пространства элементарных событий и задании на нем вещественной знакопеременной меры. В качестве пространства элементарных событий выбирается множество всех непрерывных траекторий частицы x(t), при этом частица может двигаться по траектории как вперед, так и назад по времени, меняя направление движения сколько угодно раз.

Для траекторий Рязанова отсутствует закон инерции, они не являются прямыми линиями и не реализуют минимум действия. В связи с этим и время для них не является направленным. Это объясняет, почему распределение вероятностей значений физических величин в квантовой механике определяется не только прибором, приготовляющим систему в состоянии с волновой функцией, но и измеряющим прибором в конечный момент времени t. Действительно, частица по Рязанову знает о будущем, она уже «была» в конечной точке — на измерительном приборе. Теперь понятно, почему волновая функция, согласно Фоку, описывает потенциальную возможность — согласно Рязанову, она содержит только уходящие из точки x пути. Чтобы получить реальное распределение вероятностей, надо учесть и приходящие пути.

Формулировка Рязанова позволяет понять, как в квазиклассическом случае возникает направленное время классической механики. На самом деле, она дает нам нечто большее — объясняет, как при этом возникает необратимость. Она возникает вследствие непрерывности меры Рязанова как асимптотическое свойство при t стремящемся к бесконечности в согласии с утверждением Ландау и Лифшица о квантовой изначальной природе необратимости.

Итак, существование массы у частицы определяет в рассмотренном выше смысле геометрию пространства и времени классической механики. Но откуда берется сама масса? В самом общем подходе — из принципа Гамильтона минимума действия и принципа относительности. Существование принципа Гамильтона можно объяснить в квазиклассическом пределе, исходя из функционального интеграла Рязанова. Принцип относительности следует из однородности пространства и времени, т. е. «навязывается» геометрией пространства-времени. Таким образом, круг замкнулся: физика и геометрия логически эквивалентны, из относительного следует абсолютное, из абсолютного — относительное. Возвращаясь к формулировкам Ньютона, приведенным в начале, можно сказать: геометрия поставляет нам абсолютные объекты: величины и точки, физика — относительные: измеренные числовые значения величин и координаты точек. Отношения эквивалентности на множестве физических объектов восстанавливает их абсолютный характер.

В своем исследовании абсолютного и относительного Мах идет до конца. Согласно выдвинутому им принципу, тело обладает массой не само по себе, а вследствие взаимодействия его с удаленными звездами. Это означает, что звезды не только служат телами отсчета, «центрирующими» пространство и определяющими инерциальную систему координат, но являются физическими источниками полей, реально действующих на тело. В согласии со сказанным выше, такая крайняя степень относительности возвращает нас к абсолютному пространству, поскольку оно оказывается заполненным полем (если угодно, средой), полностью определяющим движение тел. Таким образом, понятия относительного и абсолютного опять сомкнулись. Разумеется, измерения, как и положено, дают относительные значения массы, определяя ее как отношение модулей ускорений двух взаимодействующих тел на основе третьего закона Ньютона или как отношение модулей изменения скоростей двух тел в результате их взаимодействия на основе закона сохранения импульса.

Библиография

Кухаренко Ю. А. Проблемы обоснования статистической механики//Исследования по истории физики и механики. М., 1985.

Кухаренко Ю. А. Рождение стрелы времени из квантового хаоса//Наука и технология в России. 1997. № 3(20).

Кухаренко Ю. А. Физика и геометрия//Наука и технология в России. № 4(21). 1997.

Кухаренко Ю. А. Кинетика Вселенной и необратимость//Наука и технология в России. 1998. № 2(25).

Рязанов Г. В. Квантово-механические вероятности как суммы по путям//ЖЭТФ. 1958. Т.35. № 1.

Тема № 198

Эфир 15.01.2003

Хронометраж 49:09

www.ntv.ru

Сайт управляется системой uCoz