 |
 |
 |
gordon0030@yandex.ru
Турбулентность
19.11.2003 
41:01
Стенограмма эфираЧто такое вихревая турбулентность и чем она отличается от волновой? Чем определяется порядок величины диссипации энергии в турбулентном потоке? Почему турбулентность до сих пор остается «белым пятном» в классической механике? О физических принципах, лежащих в основе этого явления, — академик РАН Владимир Захаров.
Участник:
Захаров Владимир Евгеньевич — академик, доктор
Обзор темы
Общие сведения. Течения жидких и газообразных сред бывают двух типов: спокойные, плавные и нерегулярные, со значительным перемешиванием объемов среды и хаотическим изменением скоростей и других параметров. Первые называют ламинарными, а для вторые «турбулентными» (от английского слова turbulent — бурный, хотя предпочитают трактовать это слово, как беспорядочный).
Большинство течений в природе и технике относятся именно ко второй, до сих пор наименее изученной группе. В этом случае применяют статистические (связанные с осреднением по времени и пространству) способы описания.
Поскольку турбулентность — одно из глубочайших явлений природы, при самом общем подходе к его изучению оно смыкается с философским проникновением в суть вещей. Знаменитый ученый Т. Карман очень образно охарактеризовал это, сказав, что, когда предстанет перед Создателем, первое откровение, о котором будет просить, — раскрыть тайны турбулентности.
Наибольший практический интерес представляют такие течения, которые соответствуют весьма большим числам Рейнольдса Re. В эту безразмерную величину входят основная скорость (в струе — скорость истечения, для самолета — скорость полета), характерный линейный размер (диаметр сопла или хорда крыла) и вязкость среды. Число Рейнольдса определяет соотношение инерционных сил и сил трения (вязкости). Например, типичные значения этого числа в авиации таковы:
Вихревые течения воды и воздуха можно наблюдать в воде при обтекании препятствия: вода интенсивно вращается, образуя водовороты. За летящим самолетом можно отчетливо видеть два устойчивых следа: это с концов крыла сходят многокилометровые вихревые жгуты. Вихревые течения представляют собою вращающиеся объемы среды — воды, воздуха и т. д.
Простейший математический образ, описывающий чисто вращательное движение жидкости, — тонкая прямолинейная нить бесконечной длины. Из соображений симметрии ясно, что во всех плоскостях, перпендикулярных нити, картина скоростей одинакова (плоскопараллельное течение). Кроме того, на любой окружности радиуса r с центром на нити скорость v будет направлена по касательной к окружности и постоянна по величине.
Интенсивность вихря принято характеризовать циркуляцией скорости по замкнутому контуру, охватывающему вихрь. По мере приближения к оси вихря (т. е. при r = 0) скорость неограниченно возрастает как
Исследование турбулентности привело Н. Е. Жуковского к созданию основ современной теории аэродинамики. Эта теория сделалась основой авиации. Н. Е. Жуковский установил механизм образования подъемной силы крыла в идеальной жидкости, ввел понятие присоединенных (неподвижных относительно крыла) вихрей, стал родоначальником вихревого метода в аэродинамике. Согласно этому методу, крыло или летательный аппарат в расчетах заменяют системой присоединенных вихрей, которые в силу теоремы о сохранении циркуляции порождают свободные (не несущие) вихри, движущиеся вместе с жидкой средой. При этом задача сводится к определению интенсивности всех вихрей и положения свободных вихрей. Вихревой метод оказался особенно эффективным с появлением компьютеров и созданием численных методов.
Значительным прогрессом в изучении фундаментальных проблем турбулентности мы обязаны, прежде всего, А. Н. Колмогорову и А. М. Обухову, их ученикам и последователям.
При больших числах Re общепринятым стало понимание турбулентности как иерархии вихрей разных размеров, когда имеют место пульсации скорости потока от больших до самых малых значений. Крупномасштабная турбулентность определяется формой обтекаемого тела или конфигурацией сопла, откуда вытекает струя, режимом истечения, состоянием внешней среды. Вязкость среды учитывается или не учитывается в зависимости от каждой конкретной задачи.
По Колмогорову строение мелкомасштабной развитой турбулентности в значительной степени описывается универсальными закономерностями. Доказано, что в области достаточно малых масштабов должен господствовать статистический универсальный режим, практически стационарный и однородный. Обосновано также существование некоторого промежуточного режима турбулентности — инерционного, возникающего на масштабах, малых по сравнению с характерным размером течения в целом, но больших, чем тот микромасштаб, где уже существенны явления вязкости. Таким образом, в этом интервале, как и в начальной стадии турбулентности, вязкость среды можно не учитывать.
Однако, в рамках классического подхода гидродинамики общая теория турбулентности, которая содержала бы не только качественное описание основных процессов, но и количественные соотношения, позволяющие определять турбулентные характеристики, далеко не завершена. Задачи же, возникающие в связи с разнообразными техническими приложениями, решаются приближенно, с помощью численных методов. В результате стала интенсивно развиваться так называемая полуэмпирическая теория турбулентности, в которой наряду с теоретическими закономерностями и расчетами используются экспериментальные данные.
Из книги Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Гидродинамика»:
Развитая турбулентность. Турбулентное движение жидкости при достаточно больших значениях числа Рейнольдса характерно чрезвычайно нерегулярным, беспорядочным изменением скорости со временем в каждой точке потока (развитая турбулентность); скорость все время пульсирует около некоторого своего среднего значения. Такое же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке потока, рассматриваемого в заданный момент времени. В настоящее время полной количественной теории развитой турбулентности еще не существует. Известен, однако, ряд важных качественных результатов.
Введем понятие о средней скорости движения, получающейся в результате усреднения по большим промежуткам времени истинной скорости в каждой точке пространства. При таком усреднении нерегулярность изменения скорости сглаживается, и средняя скорость оказывается плавно меняющейся вдоль потока функцией. Будем в дальнейшем обозначать среднюю скорость буквой u. Разность
Рассмотрим подробнее характер накладывающегося на усредненный поток нерегулярного, пульсационного, движения. Это движение можно в свою очередь качественно рассматривать как результат наложения движений (турбулентных пульсаций) различных, как мы будем говорить, масштабов (под масштабом движения подразумевается порядок величины тех расстояний, на протяжении которых существенно меняется скорость движения). По мере возрастания числа Рейнольдса появляются сначала крупномасштабные пульсации; чем меньше масштаб движения, тем позже такие пульсации появляются. При очень больших числах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до очень малых. Основную же роль в турбулентном потоке играют крупномасштабные пульсации, масштаб которых — порядка величины характеристических длин, определяющих размеры области, в которой происходит турбулентное движение; в дальнейшем будем обозначать порядок величины этого основного (или внешнего) масштаба турбулентного движения посредством ℓ. Эти крупномасштабные движения обладают наибольшими амплитудами. Их скорость по порядку величины сравнима с изменениями Δu средней скорости на протяжении расстояний ℓ (мы говорим здесь о порядке величины не самой скорости, а ее изменения, поскольку именно оно характеризует скорость турбулентного движения; абсолютная же величина средней скорости может быть произвольной в зависимости от того, в какой системе отсчета рассматривается движение). Что же касается частот этих крупномасштабных пульсаций, то они — порядка отношения u/ℓ — средней скорости (а не ее изменения Δu) к размерам. Действительно, частота определяет период повторяемости картины движения, наблюдаемой из некоторой неподвижной системы отсчета. Но относительно такой системы вся эта картина движется вместе со всей жидкостью со скоростью порядка u.
Мелкомасштабные же пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно меньшими амплитудами. Их можно рассматривать как мелкую детальную структуру, накладывающуюся на основные крупномасштабные турбулентные движения. В мелкомасштабных пульсациях заключена лишь сравнительно малая часть всей кинетической энергии жидкости.
Из описанной картины турбулентного движения можно сделать заключение о характере изменения пульсационной скорости вдоль потока (рассматриваемого в заданный момент времени). На протяжении больших расстояний (сравнимых с ℓ) изменение пульсационной скорости определяется изменением скорости крупномасштабных пульсаций и потому сравнимо по величине с Δu. На малых же (по сравнению с ℓ) расстояниях оно определяется мелкомасштабными пульсациями и потому мало по сравнению с Δu (но велико по сравнению с изменением средней скорости на том же малом расстоянии). Такая же картина имеет место, если наблюдать изменение скорости со временем в заданной точке пространства. На протяжении малых (по сравнению с характеристическим временем Т ~ ℓ/u) интервалов времени скорость испытывает незначительные изменения; в течение же больших промежутков времени скорость меняется на величины ~Δu.
В число Рейнольдса R, определяющее свойства течения жидкости в целом, в качестве характеристических размеров входит длина ℓ. Наряду с таким числом, можно ввести качественное понятие о числах Рейнольдса Rλ турбулентных пульсаций различных масштабов. Если λ — масштаб пульсаций, a vλ — порядок величины их скорости, то число Рейнольдса
При больших R велики также и числа Рейнольдса Rλ крупномасштабных пульсаций. Но большие числа Рейнольдса эквивалентны малым вязкостям. Отсюда можно заключить, что для крупномасштабного движения, являющегося как раз основным во всяком турбулентном потоке, вязкость жидкости не играет роли. Поэтому в крупномасштабных пульсациях не происходит и заметной диссипации энергии.
Вязкость жидкости становится существенной только для самых мелкомасштабных пульсации, для которых
Мы приходим, таким образом, к следующему представлению о диссипации энергии при турбулентном движении. От пульсаций с большими масштабами энергия переходит в пульсации с меньшими масштабами, практически не диссипируясь при этом. Можно сказать, что имеется как бы непрерывный поток энергии от крупно- к мелкомасштабным пульсациям, то есть от малых частот к большим. Этот поток диссипируется, то есть кинетическая энергия переходит в тепло, в самых мелкомасштабных пульсациях. Разумеется, для поддержания «стационарного» состояния потока необходимо наличие внешних источников энергии, непрерывно передающих ее основному крупномасштабному движению.
Поскольку вязкость жидкости существенна только для самых мелкомасштабных пульсаций, то можно утверждать, что все величины, относящиеся к турбулентному движению в масштабах λ много больших λ0, не могут зависеть от ν (кинематической вязкости). (Более точно, эти величины не должны меняться при изменении ν и неизменных остальных условиях, в которых происходит движение.) Это обстоятельство сужает круг величин, определяющих свойства турбулентного движения, в результате чего для исследования турбулентности приобретают большое значение соображения подобия, связанные с размерностью имеющихся в нашем распоряжении величин.
Применим такие соображения к определению порядка величины диссипации энергии при турбулентном движении. Пусть ε есть среднее количество энергии, диссипируемой в единицу времени в единице массы жидкости. Мы видели, что эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях масштаба ~λ0. Поэтому, несмотря на то, что диссипация обязана в конце концов вязкости жидкости, порядок величины ε может быть определен с помощью одних только величин, характерных для крупномасштабных движений. Таковыми являются плотность жидкости ρ, размеры ℓ и скорость Δu. Из этих трех величин можно составить всего одну комбинацию, обладающую той же размерностью, что и ε, т. е.
Турбулентно движущуюся жидкость можно в некоторых отношениях качественно описывать как жидкость, обладающую некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью νтурб, отличной от истинной кинематической вязкости ν. Характеризуя свойства турбулентного движения, νтурб должно по порядку величины определяться величинами ρ, Δu, ℓ. Единственной составленной из них величиной с размерностью кинематической вязкости является Δu · ℓ, поэтому
Перейдем теперь к изучению свойств развитой турбулентности в масштабах λ, малых по сравнению с основным масштабом ℓ. Об этих свойствах говорят как о локальных свойствах турбулентности. При этом мы будем рассматривать жидкость вдали от твердых стенок, — точнее, на расстояниях от них, больших по сравнению c λ.
О такой мелкомасштабной турбулентности вдали от твердых тел можно высказать естественное предположение, что она обладает свойствами однородности и изотропии. Последнее означает, что в участках, размеры которых малы по сравнению с ℓ, свойства турбулентного движения одинаковы по всем направлениям; в частности, они не зависят от направления скорости усредненного движения. Подчеркнем, что здесь и везде ниже, где говорится о свойствах турбулентного движения в малом участке жидкости, подразумевается относительное движение жидких частиц в этом участке, а не абсолютное движение, в котором принимает участие весь участок в целом и которое связано с движением более крупных масштабов.
Оказывается возможным получить ряд существенных результатов о локальных свойствах турбулентности непосредственно из соображений подобия.
Какими параметрами могут вообще определяться свойства турбулентного движения в участках, малых по сравнению с ℓ, но больших по сравнению с расстояниями λ0, на которых начинает играть роль вязкость жидкости? Этими параметрами является плотность ρ жидкости и, кроме того, еще одна характерная для турбулентного потока величина — энергия ε, диссипируемая в единицу времени в единице массы жидкости. ε представляет собой поток энергии, непрерывно передаваемой от пульсаций с большими к пульсациям с меньшими масштабами. Поэтому, хотя диссипация энергии и обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости и происходит в самых мелкомасштабных пульсациях, тем не менее величина ε определяет свойства движения и в б́ольших масштабах. Что касается масштабов ℓ и Δu размеров и скорости движения в целом, то естественно считать, что (при заданных ρ и ε) локальные свойства турбулентности от этих величии не зависят. Вязкость жидкости ν тоже не может входить ни в какие интересующие нас теперь величины (напоминаем, что речь идет о расстояниях λ много больших, чем λ0).
При описанных условиях изменение скорости на протяжении малого расстояния пропорционально кубическому корню из этого расстояния (закон Колмогорова — Обухова). Изменение средней скорости на малых расстояниях мало по сравнению с изменением пульсационной скорости на этих же расстояниях, и им можно пренебречь.
Из статей академика В. Е. Захарова:
Многие ученые считают, что построение строгой в математическом смысле теории затруднено еще и тем, что едва ли возможно дать исчерпывающее определение самой турбулентности.
Однако, в современной науке, изучающей явление турбулентности в различных средах, наметился значительный прогресс, в связи с созданием теории волновой турбулентности. Еще в 1966 году В. Е. Захаров впервые предложил новый подход к пониманию турбулентности в своей диссертации «Некоторые вопросы нелинейной теории поверхностных волн». Научным руководителем В. Е. Захарова тогда был профессор Р. З. Сагдеев.
Успехи теории волн в нелинейных средах с дисперсией в значительной степени обусловлены широким использованием аналогий с квантовой теорией частиц. Суть этих аналогий в том, что классическое волновое поле можно трактовать как квантованное
Этот подход оказался особенно плодотворным для нелинейных волн в плазме, где на основании квантовых аналогий исследована устойчивость периодических волн конечной амплитуды, и получены кинетические уравнения для волн, описывающие турбулентные состояния плазмы (теория слабой турбулентности плазмы).
Владимир Захаров разработал приложения некоторых идей теории многих частиц, в частности, к задаче о нелинейных волнах на поверхности бесконечно глубокой жидкости. Теория таких волн является одним из классических разделов гидродинамики, берущим начало от работ Стокса, причем основное внимание обращалось на проблему существования при тех или иных условиях периодических волн конечной амплитуды.
В. Захаров рассмотрел вопросы устойчивости периодических волн конечной амплитуды, проблемы статистического описания волн, получил точные выражения для энергетического спектра слабой турбулентности поверхностных волн, аналогичных колмогоровскому спектру в обычной турбулентности. При этом, наряду с полем тяжести были учтены эффекты поверхностного натяжения.
При условии малой нелинейности удалось исследовать неустойчивость периодической волны конечной амплитуды. Прежде всего, это распадные неустойчивости, аналогичные тем, которые известны для нелинейных волн в плазме — разные типы распадных неустойчивостей рассматриваются для капиллярных и гравитационных волн.
Кроме распадных наблюдаются еще неустойчивости, обусловленные коллективным взаимодействием квазичастиц. Они аналогичны неустойчивости основного состояния
В неустойчивом случае возможны решения типа уединенных пакетов, распространяющиеся без искажения своей формы. Эти пакеты можно представить себе, как результат развития неустойчивости периодической волны конечной амплитуды. Все эти типы волн являются квазистатическими, то есть их длины велики по сравнению с длиной исходной волны.
При изучении волновой турбулентности используется статистический подход (статистическая теория поверхностных волн).
В основу статистического описания берется предположение о хаотичности фаз различных колебаний. При этом волновое поле описывается величиной, имеющей физический смысл плотности квазичастиц в фазовом пространстве. Для получения уравнений волновой турбулентности В. Захаров расцепляет бесконечную цепочку корреляционных функций, выражая четвертые корреляции через двойные. При этом получается кинетическое уравнение со столкновительным членом, описывающим распады квазичастиц. Это уравнение пригодно для капиллярных волн.
Для гравитационных волн распадный столкновительный член обращается в ноль, тогда необходимо обращаться к корреляциям более высокого порядка и выделять коллективное взаимодействие волн, приводящее к взаимному сдвигу их частот. После этого легко получается кинетическое уравнение со столкновительным членом, описывающее рассеяние квазичастиц.
При исследовании волновых полей слабой турбулентности (стохастизированных полей) устанавливается далеко идущая аналогия между слабой турбулентностью поверхностных волн и турбулентностью несжимаемой жидкости.
В рамках теории слабой турбулентности, т. е. стохастической теории нелинейных волн, в частности, была решена задача о слабой турбулентности капиллярных волн. В теории слабой турбулентности нелинейность волн предполагается малой, что позволяет, используя гипотезу о случайности фаз отдельных волн, получить кинетическое уравнение для средних квадратов амплитуд волн.
Во многих случаях слабой турбулентности возникает ситуация, когда затухание существенно в области больших волновых чисел и отделено от области, где сосредоточена основная энергия волн (следствие накачки либо начальных условий) широкой областью прозрачности. В рамках гипотезы, что слабая турбулентность в этих случаях вполне аналогична гидродинамической турбулентности при больших числах Рейнольдса в том смысле, что в области прозрачности устанавливается универсальный спектр, определяемый только потоком энергии в область больших волновых чисел. Спектр гидродинамической турбулентности
В. Е. Захаровым и Н. Н. Филоненко был рассмотрен случай слабой турбулентности капиллярных волн на поверхности жидкости. Было получено кинетическое уравнение для капиллярных волн на основе закона дисперсии волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости, с учетом поверхностного натяжения. Плотность жидкости была положена равной единице. Существенно, что в этом случае оказалось, что основной вклад во взаимодействие дают процессы распада волны на две и слияние двух волн в одну. Кроме того, было показано, что столкновительный член кинетического уравнения обращается в руль решением
Ключевые слова
Капиллярные волны — волны на поверхности воды с длиной волны менее
Гравитационные волны — волны на поверхности воды с длиной волны более двух сантиметров.
Вихревые жгуты — компактные вихревые структуры, образующие длинный след за самолетом.
Вихревые течения — вращающиеся объемы жидкой среды.
Когерентные вихревые структуры — крупно масштабные квазиустойчивые вихревые образования.
Пульсации скоростей среды — добавки к средним значениям скоростей среды, меняющиеся во времени.
Турбулентность — нерегулярные течения среды с сильным перемешиванием и хаотическим изменением параметров.
Диссипация энергии — здесь — переход части энергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов, в частности, в тепло.
Библиография
Захаров В. Е. Слабая турбулентность в средах с распадными спектрами // ПМТФ. 1965. № 4
Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. Спектр энергии стохастических гравитационных волн // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170. № 6
Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. Слабая турбулентность капиллярных волн // ПМТФ. 1967. № 5
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Т. 4. М., 2001
Zakharov V., Filonenko N. The energy spectrum for stochastic oscillations of a fluid surface // Doclady Akad. Nauk SSSR. 1966. № 170
Zakharov V., Filonenko N. Weak turbulence of capillary waves // Prikl. Mekh. Tekh. Fiz. 1967. № 5
Zakharov V., Zaslavski M. Ranges for generation and dissipation in the kinetic equation for a
Zakharov V., Newell A. Rough sea foam // Phys. Rev. Lett. 1992. № 69
Zakharov V., Kuznetsov E. Hamiltonian formalism for nonlinear waves // Uspechi Fiz. Nauk. 1997. V. 167. № 11
Zakharov V. Statistical Theory of Gravity and Capillary Waves on the Surface of a
Zakharov V., Pushkarev F. Turbulence of capillary waves — theory and numerical simulation // Physica. 2000. V. 135
Тема № 320
Эфир 19.11.2003
Хронометраж 41:01
www.ntv.ru